二阶

行列式的概念是从解线性方程组的需要中引进来的。所谓线性方程组是指未知项的最高次数是一次的方程组，其中最简单的是在中学时学习的二元线性方程组：

$$a_{11} x_1 + a_{12} x_2 = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 = b_2 $$

其中$a_{11}$表示第 i 个方程中第j个未知数的系数, $b_{i}$表示第i个方程的常数项。

用加减消元法来解该方程组，第一、二式分别乘以$a_{22}$和$a_{12}$，然后相减，消去未知数$x_{2}$，得到

$$ ( a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} ) x_1 = a_{22} b_{1} - a_{12} b_{2} $$

同理，消去未知数$x_{1}$，得到

$$ ( a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} ) x_2 = a_{11} b_{2} - a_{21} b_{1} $$

当$a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \neq 0$ 时，方程组有唯一解

$$ x_1 = \frac{a_{22} b_{1} - a_{12} b_{2}}{a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}} $$

$$ x_2 = \frac{a_{11} b_{2} - a_{21} b_{1}}{a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}} $$

为了便于记忆，引入如下记号

$$D=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix} = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$$

称为二阶行列式，其中$a_{ij}$称为这个行列式第i行第j列的元素。
二阶行列式是四个数排成两行两列，用一种称为对角线法则计算得出的数，从左上角到右下角上元素相乘，取正号，右上角和左下角上元素相乘，取负号，两个乘积的代数和就是二阶行列式的值。

三阶

直接计算——对角线法